소담고등학교 수학 기출 | 공통수학2 중간고사 | 난이도별 분석

• Step 1. 원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식 이해하기
  중점이 원점이고 반지름의 제곱이 $r^2$인 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점
  $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_1x + y_1y = r^2$입니다.
• Step 2. 주어진 값 대입하기
  문제에서 주어진 원의 방정식은 $x^2+y^2=45$ ($r^2=45$)이고,
  접점은 $(x_1, y_1) = (-3, 6)$입니다.
• Step 3. 접선의 방정식 완성하기
  공식에 대입하면 $(-3)x + 6y = 45$가 됩니다.
  양변을 3으로 나누면 $-x + 2y = 15$가 됩니다.

정답: ①

• ① $x^2=3$이면 $x = \pm\sqrt{3}$이므로 거짓입니다.
• ② $x$가 무리수일 때 $x^2$이 항상 유리수가 되는 것은 아닙니다 (반례 존재).
• ③ $x=0$일 때 $x^2 = 0$이므로 거짓입니다.
• ④ 실수에서 합이 $0$ 이상이면 둘 다 음수일 수는 없으므로 둘 중 적어도 하나는 $0$ 이상이어야 하므로 참입니다.
• ⑤ 반례 등을 통해 항상 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.

정답: ④

• Step 1. 원의 방정식 표준형으로 변형하기
  $(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) = 13 + 1 + 4$
  $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 18$
• Step 2. 반지름 구하기
  $r^2 = 18$이므로 반지름 $r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$입니다.

정답: ②

• Step 1. 평행이동의 이동량 구하기
  이동 전 중심 $(0,0)$에서 이동 후 중심 $(-2, 1)$로 이동했으므로
  $x$축 방향으로 $-2$, $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하였습니다.
• Step 2. 직선의 방정식 평행이동 적용하기
  $x$ 대신 $x+2$, $y$ 대신 $y-1$을 대입합니다.
  $2(x+2) – (y-1) = 3 \implies 2x + 4 – y + 1 = 3 \implies 2x – y = -2$

정답: ②

• Step 1. ㄱ 확인:
  $(-1+2, 2-4) = (1, -2)$이므로 참입니다.
• Step 2. ㄴ 확인:
  계산 및 교점 확인 결과 조건에 맞지 않아 거짓입니다.
• Step 3. ㄷ 확인:
  이동 후 원의 중심 $(-3, -2)$와 직선 $y=x$ 사이의 거리가 반지름보다 작아 두 점에서 만나므로 참입니다.

정답: ④ (ㄱ, ㄷ)

중점 $M$은 $\left(\frac{x+x’}{2}, \frac{y+y’}{2}\right)$이며 $y=x$ 위에 있습니다 (① 참).

기울기 관계를 통해 $x’+y’=x+y$가 유도되므로 ③번의 $x’+y’=x-y$는 성립하지 않습니다.

정답: ③

• ㄱ: 공통원소가 없어 서로 소입니다 (참).
• ㄴ: 마름모는 네 각의 크기가 모두 다를 수 없으므로 두 집합은 서로 소입니다 (참).
• ㄷ: 이차식과 일차식 집합은 상수항 등으로 인해 교집합이 공집합이 아니므로 서로 소가 아닙니다 (거짓).

정답: ② (ㄱ, ㄴ)

③번의 $2(k+l)-1$은 홀수 형태이므로 두 홀수의 합인 짝수 결과 표현에 잘못 사용되었습니다.

정답: ③

• Step 1. 표준형 변형하기
  $(x-2k)^2 + (y-2)^2 = -3k^2 + 4k$
• Step 2. 반지름 조건($r^2 > 0$) 적용하기
  $-3k^2 + 4k > 0 \implies 3k^2 – 4k < 0 \implies 0 < k < \frac{4}{3}$
• Step 3. 정수 개수 구하기
  범위 내 정수 $k$는 $1$로 총 1개입니다.

정답: ⑤

• Step 1. 집합 $C$의 원소 범위 구하기
  최솟값 $-4$부터 최댓값 $10$까지의 모든 정수 원소를 가집니다.
• Step 2. 합 구하기
  $-4$부터 $4$까지는 상쇄되고, $5$부터 $10$까지의 합을 구합니다.
  $5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$

정답: ①

• Step 1. 홀수와 짝수 개수 파악하기
  홀수는 ${1, 3, 5, 7, 9}$로 5개, 짝수는 5개입니다.
• Step 2. 부분집합 개수 구하기
  홀수 5개는 선택 여부가 각각 2가지이고, 짝수 5개는 포함되지 않으므로 1가지입니다.
  따라서 $2^5 = 32$개입니다.

정답: 32개

$\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} \ge 0$

정답: 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 주어진 식은 항상 성립합니다.

• Step 1. 조건 $p$의 진리집합 구하기
  $x^2 – 2x – 8 \le 0 \implies (x-4)(x+2) \le 0 \implies -2 \le x \le 4$
• Step 2. 조건 $\sim q$의 범위 구하기
  $q: \vert{}x-2a\vert{} > 7$의 부정 $\sim q$는 $\vert{}x-2a\vert{} \le 7 \implies 2a-7 \le x \le 2a+7$입니다.
• Step 3. $p \to \sim q$가 참이 될 조건 확인하기
  진리집합이 $P \subset Q^c$이어야 하므로 $[-2, 4] \subset [2a-7, 2a+7]$을 만족해야 합니다.
  $2a-7 \le -2$ 이고 $4 \le 2a+7$
• Step 4. 부등식 풀이 및 정수 $a$ 개수 구하기
  $-1.5 \le a \le 2.5$를 만족하는 정수 $a$는 $-1, 0, 1, 2$로 총 4개입니다.

정답: ④

• Step 1. 원의 중심과 반지름 구하기
  $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9 \implies$ 중심 $(2, 1)$, 반지름 $r = 3$
• Step 2. 중심과 직선 사이의 거리($d$) 구하기
  $d = \frac{\vert{}2 + 1 – 1\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
• Step 3. 현의 길이 구하기
  $\overline{AB} = 2\sqrt{r^2 – d^2} = 2\sqrt{3^2 – (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{7}$

정답: ⑤

• Step 1. 원을 $y=x$에 대칭이동하기
  $(x-2)^2 + (y+k)^2 = 5$ (원 $C$, 중심 $(2, -k)$, 반지름 $r=\sqrt{5}$)
• Step 2. 접할 조건 이용하기
  직선 $2x – y – 1 = 0$과 중심 $(2, -k)$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$와 같아야 합니다.
  $\frac{\vert{}4 + k – 1\vert{}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies \vert{}k + 3\vert{} = 5 \implies k = 2$ 또는 $k = -8$

정답: ③

• ㄱ: 필요충분조건입니다.
• ㄴ: 충분조건이지만 필요조건은 아닙니다.
• ㄷ: $P = \{-1, 0, 1\}$, $Q = {0, 1}$이므로 $Q \subset P$입니다. 즉 $q \implies p$는 참이고 $p \implies q$는 거짓이므로 $p$는 $q$이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닙니다.
• ㄹ: 필요충분조건입니다.

정답: ③

Step 1. 아폴로니우스의 원 식 세우기

고정점 A와 B:

점 $A(2, 1)$과 점 $B(5, 1)$은 $y=1$ 직선 위에 나란히 위치합니다. ($AB$의 거리 $= 3$)

내분점과 외분점 (지름의 양 끝점):

내분점 ($2:1$): 선분 $AB$를 $2:1$로 내분하는 점은 좌표 계산 시 $x = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1} = \frac{12}{3} = 4$, $y=1$이 되어 점 $(4, 1)$이 됩니다.

외분점 ($2:1$): 선분 $AB$를 $2:1$로 외분하는 점은 좌표 계산 시 $x = \frac{2(5) – 1(2)}{2-1} = \frac{8}{1} = 8$, $y=1$이 되어 점 $(8, 1)$이 됩니다.

Step 2. 원의 중심과 반지름

내분점 $(4, 1)$과 외분점 $(8, 1)$을 지름의 양 끝점으로 하므로, 원의 중심은 두 점의 중점인 $(6, 1)$이 됩니다.

반지름의 길이는 지름의 절반이므로 $\frac{8 – 4}{2} = 2$가 됩니다.

따라서 이 아폴로니우스의 원 방정식은 $(x-6)^2 + (y-1)^2 = 4$ (전개 시 $x^2+y^2-12x-2y+33=0$)로 완성됩니다.

정답: ①

$B \cap A^c = B – A$이며, 주어진 조건들을 벤다이어그램 원소 분석에 적용합니다.

정답: ①

접하므로 $D=0$ 조건($n = \pm r\sqrt{m^2+1}$)을 유도합니다.

$D=0$임을 이용해 $n = \pm r\sqrt{m^2+1}$을 유도하며, 최종 접선의 방정식은 $y = mx \pm r\sqrt{m^2+1}$입니다.

정답: $y = mx \pm r\sqrt{m^2+1}$

집합 $Q(x) =$ {$a + bx \mid a, b \in \mathbb{Q}$}에 대한 설명은 다음과 같습니다.

① $Q(1) = \mathbb{Q}$ (참): $a + b \cdot 1 = a + b$로 두 유리수의 합은 유리수이며, 모든 유리수는 이 집합에 포함되므로 성립합니다.

② $\mathbb{Q} \subset Q(\sqrt{2})$ (참): 임의의 유리수 $q$는 $q = q + 0\cdot\sqrt{2}$ ($q, 0 \in \mathbb{Q}$)로 나타낼 수 있으므로 유리수 전체 집합은 $Q(\sqrt{2})$의 부분집합이 됩니다.

③ $k \in Q(\sqrt{2})$ 이면 $\frac{1}{k} \in Q(\sqrt{2})$ (단, $k \neq 0$) (참): $k = a + b\sqrt{2}$ ($a, b \in \mathbb{Q}$)일 때, 역수를 취하고 분모를 유리화하면 다음과 같습니다:

$\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a – b\sqrt{2}}{a^2 – 2b^2}$
$= \frac{a}{a^2 – 2b^2} – \frac{b}{a^2 – 2b^2}\sqrt{2}$

이때 유리수 조건에 의해 새로운 계수들도 모두 유리수가 되므로 여전히 $Q(\sqrt{2})$에 속합니다.

④ $(Q(\sqrt{2})) \cap (Q(\sqrt{3})) \neq \emptyset$ (참): 두 집합 모두 유리수 전체 집합 $\mathbb{Q}$를 공통으로 포함하므로(예: $0, 1$ 등), 교집합이 공집합이 아닙니다.

⑤ $x = i$ 이면 $i^2 \notin Q(i)$ (거짓): $i^2 = -1$이며, $-1 = -1 + 0 \cdot i$ (여기서 $-1, 0 \in \mathbb{Q}$)이므로 $i^2 \in Q(i)$가 성립합니다. 따라서 $i^2 \notin Q(i)$라고 한 ⑤번 설명은 틀렸습니다.

정답: ⑤

• Step 1. ㄱ 확인:
  $2^3 = 8$이므로 참입니다.
• Step 2. ㄴ 확인:
  $A=B$일 때 등호가 성립하므로 거짓입니다.
• Step 3. ㄷ 확인:
  $P(\emptyset) = \{\emptyset\}$, $P(P(\emptyset)) = {\emptyset, {\emptyset}}$이므로 ${{\emptyset}}$은 부분집합이 되어 참입니다.

정답: ③ (ㄱ, ㄷ)

• Step 1. 이동 관계 파악하기
  원점 대칭이동 후 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 도형입니다.
• Step 2. 방정식 작성하기
  $f(-x-1, -y+2) = 0$
  원점 대칭이동 후 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동하였으며, 방정식은 $f(-x-1, -y+2) = 0$입니다.

정답: $f(-x-1, -y+2) = 0$

Step 1. 원의 평행이동 및 대칭이동 분석하기

주어진 원의 방정식: $(x+1)^2 + y^2 = 13$ (중심 $(-1, 0)$, 반지름 $r = \sqrt{13}$)

$x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동: $x$ 대신 $x-1$을 대입하면,

$((x-1)+1)^2 + y^2 = 13 \implies x^2 + y^2 = 13$

$y=x$에 대하여 대칭이동: $x$와 $y$를 서로 바꾸어 대입하면,

$y^2 + x^2 = 13 \implies x^2 + y^2 = 13$ (중심 $(0, 0)$, 반지름 $r = \sqrt{13}$인 원 $C$)

Step 2. 두 점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식 구하기

점 $A(1, -1)$과 점 $B(7, 8)$을 지나는 직선의 기울기 $m$:

$m = \frac{8 – (-1)}{7 – 1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

점 $A(1, -1)$을 지나는 직선의 방정식:

$y – (-1) = \frac{3}{2}(x – 1) \implies y + 1 = \frac{3}{2}x – \frac{3}{2} \implies y = \frac{3}{2}x – \frac{5}{2}$

양변에 2를 곱하고 정돈하면: $3x – 2y – 5 = 0$

Step 3. 삼각형 $ABQ$의 넓이가 최대가 되는 조건 분석하기

삼각형 $ABQ$의 넓이는 밑변 $\overline{AB}$의 길이가 일정하므로, 높이(직선 $AB$와 원 위의 점 $Q$ 사이의 거리)가 최대일 때 최대가 됩니다.

원점($(0, 0)$)을 지나고 직선 $3x – 2y – 5 = 0$에 수직인 직선의 방정식은 $2x + 3y = 0$ ($y = -\frac{2}{3}x$)입니다.

이 수직 직선과 원 $x^2 + y^2 = 13$의 교점을 구합니다:

$x^2 + \left(-\frac{2}{3}x\right)^2 = 13 \implies x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13 \implies \frac{13}{9}x^2 = 13 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

$x = 3$일 때 $y = -2$ ($\implies 점 (3, -2)$)

$x = -3$일 때 $y = 2$ ($\implies 점 (-3, 2)$)

두 점 중 직선 $3x – 2y – 5 = 0$으로부터 거리가 더 먼 쪽을 판별하면 점 $(-3, 2)$가 됩니다.

정답: ② $(-3, 2)$

Step 1. 식 전개하기

주어진 식을 항별로 전개합니다.

$(3a+2b)\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) = (3a)\left(\frac{2}{a}\right) + (3a)\left(\frac{3}{b}\right) + (2b)\left(\frac{2}{a}\right) + (2b)\left(\frac{3}{b}\right)$

$= 6 + \frac{9a}{b} + \frac{4b}{a} + 6 = 12 + \left(\frac{9a}{b} + \frac{4b}{a}\right)$

Step 2. 산술·기하 평균 부등식 적용하기

$a>0, b>0$이므로 $\frac{9a}{b} > 0, \frac{4b}{a} > 0$입니다.

산술·기하 평균 관계($X + Y \ge 2\sqrt{XY}$)에 의하여:

$\frac{9a}{b} + \frac{4b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{9a}{b} \cdot \frac{4b}{a}} = 2\sqrt{36} = 2 \times 6 = 12$

Step 3. 최솟값 계산하기

따라서 전체 식의 최솟값은 다음과 같습니다.

$12 + 12 = 24$

(참고: 등호는 $\frac{9a}{b} = \frac{4b}{a} \implies 3a = 2b$일 때 성립합니다.)

정답: 24