종촌고등학교 수학 기출 | 공통수학2 중간고사 | 복합도 분석

[해설]

집합은 어떤 조건에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임이어야 합니다.

①, ②, ③, ⑤는 ‘듣기 좋은’, ‘유익한’, ‘~에 가까운’, ‘귀여운’ 등 기준이 주관적이므로 대상을 명확히 구분할 수 없어 집합이 아닙니다.

④ 주어진 방정식 $x^2-2x+1=0$의 해는 $x=1$로 그 대상을 분명하게 정할 수 있으므로 집합입니다. (조건제시법으로 나타내면 $\{1\}$)

[해설]

집합 $A$는 10의 약수의 모임이므로 원소나열법으로 나타내면 $A =$ {$1, 2, 5, 10$}입니다.

① $3 \in A$ : 3은 10의 약수가 아니므로 거짓입니다.

② $\emptyset \subset A$ : 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 참입니다.

③ $\{2, 5\} \in A$ : $\{2, 5\}$는 집합 $A$의 부분집합($\subset$)이지 원소($\in$)가 아니므로 거짓입니다.

④ $A = \{1, 2, 5\}$ : 10의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 10이 누락되어 거짓입니다.

⑤ $\{1, 2, 3, \dots, 10\} \subset A$ : 3 등은 집합 $A$의 원소가 아니므로 부분집합이 될 수 없어 거짓입니다.

[해설]

귀류법을 이용한 $\sqrt{3}$이 무리수임 증명 과정입니다.

(가) 명제 ‘$\sqrt{3}$은 무리수이다’를 부정하여 유리수라고 가정합니다.

(나) $n^2 = 3m^2$에서 $n^2$이 3의 배수이면 $n$도 3의 배수입니다.

(다) $m, n$이 모두 3의 배수이면, $m, n$이 서로소라는 가정에 모순이 됩니다.

따라서 빈칸에 알맞은 차례는 유리수, 3의 배수, 서로소입니다.

[해설]

함수는 정의역 $X = {-1, 0, 1}$의 모든 원소가 공역 $Y = {0, 1, 2}$의 원소에 오직 하나씩 대응해야 합니다.

① $f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1$ (함수 O)

② $g(-1)=0, g(0)=1, g(1)=2$ (함수 O)

③ $h(-1)=1, h(0)=2, h(1)=3$

이때 $h(1)=3$인데, 공역 $Y$에 $3$이 존재하지 않으므로 $X$에서 $Y$로의 함수가 아닙니다.

④ $k(-1)=2, k(0)=1, k(1)=2$ (함수 O)

⑤ $j(-1)=2, j(0)=1, j(1)=2$ (함수 O)

[해설]

ㄱ. 거짓: 사다리꼴 중에는 한 쌍의 대변만 평행한 사다리꼴도 존재하므로 평행사변형이 아닙니다.

ㄴ. 참: $x=1$일 때 $1^2 \ne 0$이 성립하므로 ‘어떤 실수’ 조건에 부합합니다.

ㄷ. 거짓: 어떤 자연수 $x$를 대입하더라도 $2x$는 항상 짝수가 됩니다.

ㄹ. 참: $x^2-2x+2 = (x-1)^2 + 1 \ge 1 > 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립합니다.

따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄹ입니다.

[해설]

원 $(x-3)^2+(y+2)^2=5$를 $x$축 방향으로 $-2$만큼, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동하면

$x$ 대신 $x-(-2) = x+2$, $y$ 대신 $y-3$을 대입합니다.

$\{(x+2)-3\}^2 + \{(y-3)+2\}^2 = 5$
$\therefore (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$

[해설]

$2x+1 = t$로 치환하면 $x = \frac{t-1}{2}$입니다.

이를 대입하여 $f(t)$를 구하면:

$f(t) = 5\left(\frac{t-1}{2}\right) – 30 = \frac{5}{2}t – \frac{65}{2}$

즉, $f(x) = \frac{5}{2}x – \frac{65}{2}$입니다.

$y = \frac{5}{2}x – \frac{65}{2}$의 역함수를 구하기 위해 $x$와 $y$를 바꿉니다.

$x = \frac{5}{2}y – \frac{65}{2} \implies \frac{5}{2}y = x + \frac{65}{2} \implies y = \frac{2}{5}x + 13$

따라서 $f^{-1}(x) = \frac{2}{5}x + 13$이므로 $a = \frac{2}{5}, b = 13$입니다.

따라서 $a+b = \frac{2}{5} + 13 = \frac{67}{5}$ (또는 식에 따른 계산값)입니다.

[해설]

합성함수의 식 구하기:

$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax+b) + b = a^2 x + ab + b$

계수비교법을 통한 $a, b$ 구하기:

$a^2 x + (a+1)b = 9x + 4$이므로

$a^2 = 9 \implies a = 3$ 또는 $a = -3$

$a = 3$일 때: $(3+1)b = 4 \implies 4b = 4 \implies b = 1$

이때 $f(x) = 3x + 1$이므로 $f(1) = 3(1) + 1 = 4$

$a = -3$일 때: $(-3+1)b = 4 \implies -2b = 4 \implies b = -2$

이때 $f(x) = -3x – 2$이므로 $f(1) = -3(1) – 2 = -5$

가능한 $f(1)$의 값의 합:

$4 + (-5) = -1$

[해설]

$A \subset B$일 때 성립하는 집합의 포함관계 성질을 이용합니다.

① $A \cap B = A$이어야 하므로 거짓입니다.

② $A = B$인 경우 $B – A = \emptyset$이 될 수 있으므로 항상 성립하는 것은 아닙니다.

③ $A \cup B = B$이어야 하므로 거짓입니다.

④ $A \subset B \iff A^c \cup B = U$는 항상 참입니다.

(벤 다이어그램 및 집합 연산: $A^c \cup B = (B^c)^c \cup B = (B – A)^c = \dots = U$)

⑤ $A \subset B \iff B^c \subset A^c$이므로 $B^c – A^c = \emptyset$입니다. (따라서 $A^c – B^c$는 항상 $\emptyset$이 아닙니다.)

[해설]

각 조건의 진리집합 및 동치관계를 해석합니다.

$p : xy \ge 0$ ($x, y$의 부호가 같거나 적어도 하나는 0)

$q : x = 0$ 그리고 $y = 0$ ($x=y=0$)

$r : \vert{}x+y\vert{}^2 = \vert{}x-y\vert{}^2 \iff (x+y)^2 = (x-y)^2 \iff 4xy = 0 \iff xy = 0$

$s : \vert{}x+y\vert{} = \vert{}x\vert{} + \vert{}y\vert{} \iff (x+y)^2 = (\vert{}x\vert{}+\vert{}y\vert{})^2 \iff x^2+2xy+y^2 = x^2+2\vert{}xy\vert{}+y^2 \iff xy = \vert{}xy\vert{} \iff xy \ge 0$

[보기 분석]

ㄱ. $p(xy \ge 0) \implies q(x=y=0)$는 거짓입니다. (반례: $x=1, y=1$)

ㄴ. $q \implies r$이 성립하므로 $q$는 $r$이기 위한 충분조건입니다. (필요조건 거짓)

ㄷ. $r(xy=0) \implies s(xy \ge 0)$이 성립하므로 $s$는 $r$이기 위한 필요조건입니다. (참)

ㄹ. $p$와 $s$는 모두 $xy \ge 0$으로 동치이므로 필요충분조건입니다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ입니다.

[해설]

대칭이동한 직선 $l$의 방정식 구하기:

$x-2y+k=0$을 $y=x$에 대해 대칭이동하면 $x$와 $y$를 교환하므로

$$l : y – 2x + k = 0 \implies 2x – y – k = 0$$

원과 직선의 위치 관계 (점과 직선 사이의 거리 이용):

원 $x^2 + y^2 – 6y + 4 = 0 \implies x^2 + (y-3)^2 = 5$

중심 $(0, 3)$, 반지름 $r = \sqrt{5}$

직선 $l$과 원이 만나려면 중심 $(0,3)$에서 직선 $2x-y-k=0$까지의 거리 $d \le r$이어야 합니다.

$d = \frac{\vert{}2(0) – 3 – k\vert{}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\vert{}-3-k\vert{}}{\sqrt{5}} \le \sqrt{5}$
$\vert{}k+3\vert{} \le 5 \implies -5 \le k+3 \le 5 \implies -8 \le k \le 2$

정수 $k$의 개수:

$-8$부터 $2$까지의 정수 개수는 $2 – (-8) + 1 = 11$개입니다.

[해설]

$0 < a < b$이므로 각 식의 양음 부호를 판단합니다.

$b+a > 0 \implies$ (나)는 >

$b-a > 0 \implies$ (다)는 >

$ab > 0 \implies$ (라)는 >

따라서 $\frac{b}{a} – \frac{a}{b} > 0 \implies$ (마)는 >

$\frac{b}{a} > \frac{a}{b} \implies \frac{a}{b} < \frac{b}{a}$ 이므로 (가)는 <

지문 및 빈칸 배치상의 부등호 구분에 따라 ‘<‘ 부등호의 총 개수를 집계합니다.

[해설]

전체집합 $U$의 원소 수 $n(U) = 40$

딸기맛 선택 집합 $A$: $n(A) = 21$

블루베리맛 선택 집합 $B$: $n(B^c) = 23 \implies n(B) = 40 – 23 = 17$

적어도 하나 선택 $n(A \cup B) = 34$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$
$34 = 21 + 17 – n(A \cap B)$
$34 = 38 – n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 4$

[해설]

평행이동한 원의 중심과 반지름:

중심 $(m, 2)$, 반지름 $r = 3$

현의 길이와 점과 직선 사이의 거리관계:

현의 길이 $AB = 4$이므로 중심에서 직선까지의 거리 $d$는 피타고라스 정리로

$d = \sqrt{r^2 – \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 – 2^2} = \sqrt{5}$

거리 공식을 통한 $m$의 방정식:

직선 $x – 2y + 5 = 0$과 중심 $(m, 2)$ 사이의 거리

$d = \frac{\vert{}m – 2(2) + 5\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{\vert{}m + 1\vert{}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$\vert{}m + 1\vert{} = 5 \implies m + 1 = 5 \text{ 또는 } m + 1 = -5$
$m_1 = 4, m_2 = -6$

합 구하기:

$m_1 + m_2 = 4 + (-6) = -2$

[해설]

$A = \{1, 2, 4, 8\}$, $B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

$A \cap X = \emptyset \implies X$는 $A$의 원소($1, 2, 4, 8$)를 원소로 갖지 않습니다.

$B \cup X = B \implies X \subset B$

따라서 $X$는 $B – A = {3, 6, 12, 24}$의 부분집합이어야 합니다.

$n(X) \ge 1 \implies X \neq \emptyset$ (공집합 제외)

$B – (A \cup X) \neq \emptyset \implies X \neq B – A$ (자기 자신 제외)

원소 4개인 집합 ${3, 6, 12, 24}$의 부분집합 중 공집합과 전체집합 2개를 제외한 개수는:

$2^4 – 2 = 16 – 2 = 14\text{개}$

[해설]

각 조건의 범위를 구합니다.

$p : -a < x < a$ ($a > 0$)

$q : (x-5)(x+2) < 0 \implies -2 < x < 5$

$r : x < b-1$ 또는 $x > b$

$p \implies q$ ($P \subset Q$):

$[-a, a] \subset (-2, 5) \implies -2 \le -a$ 그리고 $a \le 5 \implies a \le 2$. 따라서 $a$의 최댓값은 $2$

$q \implies r$ ($Q \subset R$):

$(-2, 5) \subset (x < b-1 \cup x > b)$

구간 $(-2, 5)$가 한쪽 범위에 완전히 포함되어야 하므로

$5 \le b-1$ (즉 $b \ge 6$) 또는 $b \le -2$. $b$가 양수이므로 $b \ge 6$. 따라서 $b$의 최솟값은 $6$

$a$의 최댓값 + $b$의 최솟값 $= 2 + 6 = 8$ (또는 경계값 조건에 따른 합 산출)

[해설]

주어진 집합 관계 해석:

$P \cap Q = P \implies P \subset Q$

$P^c – Q = \emptyset \implies P^c \subset Q \implies P \cup Q = U$. $P \subset Q$이므로 $Q = U$

$P – R = P \implies P \cap R = \emptyset$ (서로소)

[보기 해석]

ㄱ. $r \implies \sim q \iff R \subset Q^c$: $Q=U$이면 $Q^c=\emptyset$이므로 명제 조건을 따져 참/거짓 판단.

$P \cap R = \emptyset \implies R \subset P^c$. $P \subset Q$에서 $Q^c \subset P^c$ 관계를 통해 포괄 명제의 참 여부를 확정합니다.

[해설]

분배법칙 적용:

$A_3 \cap (A_5 \cup A_7) = (A_3 \cap A_5) \cup (A_3 \cap A_7) = A_{15} \cup A_{21}$

개수 구하기:

$n(A_{15}) = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

$n(A_{21}) = \lfloor \frac{200}{21} \rfloor = 9$

$n(A_{15} \cap A_{21}) = n(A_{105}) = \lfloor \frac{200}{105} \rfloor = 1$

포함과 배제의 원리에 따라:

$n(A_{15} \cup A_{21}) = 13 + 9 – 1 = 21\text{개}$

[해설]

$f(x) = f^{-1}(x) \iff f(f(x)) = x$를 만족하는 일대일대응 함수 $f$의 개수를 구하는 문제입니다.

원소들이 자기 자신으로 대응하거나($f(a)=a$), 두 원소끼리 서로 짝을 이루어 교환 대응하는 경우($f(a)=b, f(b)=a$)로 나뉩니다.

모든 원소가 자기 자신으로 대응하는 경우:

1가지 ($f(x)=x$)

2개 원소는 서로 교환 대응하고, 나머지 2개 원소는 자기 자신으로 대응하는 경우:

4개 중 짝을 이룰 2개 원소를 선택하는 가지수

$_4C_2 = 6\text{가지}$

4개 원소가 2개씩 2쌍을 이루어 서로 교환 대응하는 경우:

4개 원소를 2개, 2개 두 조로 나누는 가지수

$\frac{_4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{6 \times 1}{2} = 3\text{가지}$

따라서 가능한 총 함수 $f$의 개수는 $1 + 6 + 3 = 10$가지 (조건 변형에 따라 10개)입니다.

[해설]

조건 (나) 해석:

정의역 $X$의 홀수 원소는 ${1, 3, 9}$이고 짝수 원소는 ${2, 6, 18}$입니다.

모든 홀수 $x$와 짝수 $y$에 대해 $f(x) < f(y)$이고 $f$가 일대일대응이므로, 치역의 가장 작은 3개 값 ${1, 2, 3}$은 홀수들의 함숫값이 되고, 가장 큰 3개 값 ${6, 9, 18}$은 짝수들의 함숫값이 됩니다.

$\{f(1), f(3), f(9)\} = \{1, 2, 3\}$

$\{f(2), f(6), f(18)\} = \{6, 9, 18\}$

조건 (가) 해석:

$f(3) \in {1, 2, 3}$이고 $f(6) \in {6, 9, 18}$입니다.

두 값의 곱이 $f(3) \times f(6) = 18$이 되는 순서쌍 $(f(3), f(6))$을 찾으면 다음과 같습니다.

$(f(3), f(6)) = (1, 18)$ 또는 $(2, 9)$ 또는 $(3, 6)$

$k = f(1) + f(2) + f(9)$의 값 구하기:

$f(1) + f(9)$는 $\{1, 2, 3\}$ 중 $f(3)$을 제외한 나머지 두 원소의 합입니다.

Case 1: $f(3) = 1, f(6) = 18$일 때

$f(1) + f(9) = 2 + 3 = 5$

$f(2)$는 $\{6, 9\}$ 중 하나이므로, $k = 5 + 6 = 11$ 또는 $k = 5 + 9 = 14$

Case 2: $f(3) = 2, f(6) = 9$일 때

$f(1) + f(9) = 1 + 3 = 4$

$f(2)$는 $\{6, 18\}$ 중 하나이므로, $k = 4 + 6 = 10$ 또는 $k = 4 + 18 = 22$

Case 3: $f(3) = 3, f(6) = 6$일 때

$f(1) + f(9) = 1 + 2 = 3$

$f(2)$는 $\{9, 18\}$ 중 하나이므로, $k = 3 + 9 = 12$ 또는 $k = 3 + 18 = 21$

최댓값과 최솟값의 합:

$k$의 최댓값 $M = 22$, 최솟값 $m = 10$

$\therefore M + m = 22 + 10 = 32$

[해설]

이 문제는 점의 대칭이동, 선분의 길이의 최솟값(대칭이동을 통한 일직선화), 그리고 원 위의 점까지의 거리의 최솟값 개념이 융합된 고난도 문항입니다.

점 $A$의 대칭이동:

점 $A(-2, 3)$을 $x$축에 대해 대칭이동한 점을 $A_1$이라 하면 $A_1(-2, -3)$입니다.

그러면 $x$축 위의 임의의 점 $Q$에 대해 $\overline{AQ} = \overline{A_1Q}$가 성립합니다.

$y$축에 대한 대칭이동을 통한 일직선화:

점 $A_1(-2, -3)$을 다시 $y$축에 대해 대칭이동한 점을 $A_2$라 하면 $A_2(2, -3)$입니다.

그러면 $y$축 위의 임의의 점 $R$에 대해 $\overline{A_1Q} + \overline{QR} + \overline{RP}$의 최솟값은 점 $A_2(2, -3)$에서 원 위의 점 $P$까지의 최단거리가 됩니다.

원 위의 점 $P$까지의 최단거리 구하기:

원의 중심을 $C(3, 4)$, 반지름을 $r = 1$이라 합니다.

두 점 $A_2(2, -3)$과 원의 중심 $C(3, 4)$ 사이의 거리 $d$를 구하면:

$d = \sqrt{(3 – 2)^2 + \{4 – (-3)\}^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

점 $A_2$에서 원 위의 점 $P$까지거리의 최솟값은 원의 중심까지의 거리에서 반지름 $r$을 뺀 값입니다:

$\text{최솟값} = d – r = 5\sqrt{2} – 1$

따라서 $\overline{AQ} + \overline{QR} + \overline{RP}$의 최솟값은 $5\sqrt{2} – 1$입니다.

[해설]

1. 전체 학생 수 정리
A, B, C 영화 중 적어도 한 영화를 관람한 학생은 100명입니다.
– A 영화를 관람한 학생: 64명
– B 영화를 관람한 학생: 32명
– C 영화만 관람한 학생: \(x\)명
여기서 중요한 점은 A와 B를 모두 관람한 학생이 있을 수 있고, 세 영화를 모두 관람한 학생도 있을 수 있다는 것입니다.

2. \(x\)의 최댓값 \(M\) 구하기
C 영화만 관람한 학생이 최대한 많으려면, A 또는 B 영화를 관람한 학생과 C 영화만 관람한 학생이 겹치지 않아야 합니다.

A 또는 B 영화를 관람한 학생 수는 최소한 A 영화 관람 학생 64명입니다. 따라서 C 영화만 관람한 학생은 최대
\[
M=100-64=36
\]

명입니다.

실제로 A 영화를 관람한 64명과 C 영화만 관람한 36명을 서로 겹치지 않게 하면 조건을 만족하므로 최댓값은 36입니다.

3. \(x\)의 최솟값 \(m\) 구하기
이번에는 C 영화만 관람한 학생이 최대한 적어야 합니다.

A 영화를 관람한 학생 64명과 B 영화를 관람한 학생 32명을 합하면
\[
64+32=96
\]

명입니다.

A와 B 영화를 관람한 학생들이 최대한 겹치지 않게 배치하면 96명까지 채울 수 있습니다. 하지만 전체 학생은 100명이므로, 나머지 4명은 C 영화만 관람하도록 해야 하는 것처럼 보일 수 있습니다.

그러나 A와 B를 관람하지 않은 학생이 C 영화만 관람하지 않아도 되는 것은 아닙니다. 문제에서 조사한 100명은 모두 적어도 한 영화를 관람했으므로, A와 B를 관람하지 않은 학생은 반드시 C 영화만 관람한 학생입니다.

따라서 A와 B를 관람한 학생을 최대한 많이 겹치게 하면, A와 B의 합집합은 최소 64명입니다. 이때 나머지 학생은
\[
m=100-64=36
\]

명입니다.

4. 최종 답
\[
M+m=36+36=\boxed{72}
\]

정답은 \(\boxed{72}\)입니다.