고운고등학교 수학 기출 | 미적분1 중간고사 | STEP별 분석

주어진 함수 $f(x)=x^2+5x+17$은 다항함수입니다. 이 함수를 $x$에 대하여 미분하면 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.

$$f'(x) = 2x + 5$$

$x=2$에서의 미분계수 $f'(2)$을 구하기 위해 $x=2$을 대입하여 계산합니다.

$$f'(2) = 2(2) + 5 = 9$$

따라서 구하는 값은 9입니다.

극한식에서 $x \to 3$일 때, 분모 $x-3 \to 0$이고 분자 $3^2 – 5(3) + 6 = 0$이 되므로 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형입니다. 분자를 인수분해하여 약분합니다.

$$x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)$$

이를 극한식에 대입하면 다음과 같습니다.

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{x-3}$$

$x \to 3$은 $x \neq 3$임을 의미하므로 공통인수 $x-3$을 약분할 수 있습니다.

$$\lim_{x \to 3} (x-2) = 3 – 2 = 1$$

따라서 극한값은 1입니다.

함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)를 이용합니다. 주어진 부등식의 양변에 $x \to 3$ 극한을 취합니다.

$\lim_{x \to 3} (x-2)$
$\le \lim_{x \to 3} f(x)$
$\le \lim_{x \to 3} (x^2-5x+7)$

좌변과 우변의 극한값을 각각 계산합니다.

좌변: $\lim_{x \to 3} (x-2) = 3 – 2 = 1$

우변: $\lim_{x \to 3} (x^2-5x+7) = 3^2 – 5(3) + 7 = 9 – 15 + 7 = 1$

좌변과 우변의 극한값이 모두 1이므로, 샌드위치 정리에 의해 다음이 성립합니다.

$$\lim_{x \to 3} f(x) = 1$$

따라서 구하는 극한값은 1입니다.

주어진 그래프를 통해 함숫값과 좌극한을 각각 구합니다. $x=1$일 때 채워진 점의 $y$좌표가 함숫값이므로 $f(1) = 0$입니다. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$는 $x$가 3보다 작은 쪽에서 3으로 한없이 가까워질 때의 $y$값의 변화를 의미합니다. 그래프에서 좌극한값은 $-3$을 향하므로 $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -3$입니다.

$$f(1) + \lim_{x \to 3^-} f(x) = 0 + (-3) = -3$$

따라서 정답은 $-3$입니다.

$x \to \infty$일 때, 분모와 분자 모두 무한대로 발산하는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴입니다. 분모의 최고차항인 $x^2$으로 분모와 분자를 각각 나눕니다.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 – \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$$

$x \to \infty$일 때 $\frac{1}{x}, \frac{2}{x}, \frac{3}{x^2}$ 모두 0으로 수렴하므로 다음과 같이 계산됩니다.

$$\frac{3 + 0}{1 – 0 + 0} = 3$$

따라서 극한값은 3입니다.

절댓값 함수 $f(x) = \vert{}x-5\vert{}$는 $x=5$에서 꺾이는 V자 모양의 그래프를 가집니다. 닫힌구간 $[1, 6]$의 양 끝점과 꺾이는 점(꼭짓점)에서의 함숫값을 비교합니다.

• $x=1$일 때, $f(1) = \vert{}1-5\vert{} = 4$
• $x=5$일 때, $f(5) = \vert{}5-5\vert{} = 0$
• $x=6$일 때, $f(6) = \vert{}6-5\vert{} = 1$

따라서 최댓값은 $a = 4$이고, 최솟값은 $b = 0$입니다.

$a + b = 4 + 0 = 4$

정답은 4입니다.

함수가 $x=1$에서 연속이려면 함숫값과 극한값이 존재하고 일치해야 합니다.

• (ㄱ) $f(x)=x-1$: 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다.
• (ㄴ) $f(x)=\frac{3}{x-1}$: $x=1$에서 분모가 0이 되어 정의되지 않으므로 불연속입니다.
• (ㄷ) $f(x)=\vert{}x-1\vert{}$: 꺾인 선이지만 끊어지지 않은 그래프로 모든 실수에서 연속입니다. $x=1$에서 함숫값과 극한값이 모두 0으로 일치합니다.
• (ㄹ) $f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}$: $x=1$에서 분모가 0이 되어 정의되지 않으므로 불연속입니다. 따라서 연속인 함수는 (ㄱ), (ㄷ)입니다.

곡선 $y=\vert{}x^2-4x\vert{}$는 꼭짓점이 $(2, -4)$인 이차함수를 $x$축 위로 접어 올린 형태이므로 극대점은 $(2, 4)$가 됩니다. 직선 $y=t$와의 교점 개수 $f(t)$를 구하면 다음과 같습니다.

• $t < 0$: $f(t) = 0$
• $t = 0$: $f(t) = 2$
  ($x$절편 $0, 4$에서 만남)
• $0 < t < 4$: $f(t) = 4$
• $t = 4$: $f(t) = 3$
  (극대점에 접함)
• $t > 4$: $f(t) = 2$

$f(t)$는 $t=0$과 $t=4$에서 불연속입니다. 함수 $f(t)g(t)$가 연속이 되려면 다항함수 $g(t)$가 이 불연속점에서 0을 가져야 하므로 $g(t) = t(t-4)$가 됩니다.

구하고자 하는 값은 $f(2)+g(2)$입니다. $t=2$일 때 $0 < 2 < 4$ 범위에 속하므로 $f(2) = 4$입니다.

$g(2) = 2(2-4) = -4$입니다.

$$f(2) + g(2) = 4 + (-4) = 0$$

정답은 0입니다.

교점의 개수가 변하는 불연속점 $t$는 직선 $y=x+t$가 곡선에 접하거나 구간 경계점($x=0$)을 지날 때 발생합니다.

$x \ge 0$인 이차함수 부분에 접할 때: $x^2-3x+k+3 = x+t$에서 판별식 $D=0$을 적용하면 $t = k-1$입니다. (이때 접점 $x=2 \ge 0$이므로 유효합니다.)

좌측 경계점 $(0, -k-2)$를 지날 때: $t = -k-2$입니다.

우측 경계점 $(0, k+3)$을 지날 때: $t = k+3$입니다. 후보 $t$값이 3개($k-1, -k-2, k+3$) 나오며, 불연속점이 2개가 되려면 이 중 두 값이 일치해야 합니다.

• (i) $k-1 = -k-2 \implies 2k = -1 \implies k = -\frac{1}{2}$
• (ii) $k-1 = k+3 \implies -1 = 3$ (성립 불가)
• (iii) $-k-2 = k+3 \implies 2k = -5 \implies k = -\frac{5}{2}$

조건을 만족하는 $k$는 $-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}$이며 모든 합은 $-\frac{1}{2} – \frac{5}{2} = -3$입니다.

$f(x)$는 $x=-2$와 $x=0$에서 좌우 극한값이 달라 불연속입니다.

조건 (가)에 의해 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(-2) = 0, g(0) = 0$이어야 하므로 $g(x) = x(x+2)(x-a)$로 둘 수 있습니다.

조건 (나)에 의해 $f(x)g(x+k)$도 연속이 되려면 $g(-2+k) = 0, g(k) = 0$이어야 합니다.

즉 ${-2+k, k}$는 $g(x)=0$의 해집합 ${0, -2, a}$의 부분집합이며, 두 근의 간격이 2여야 합니다.

$k \neq 0$이므로 이 조건을 만족하는 삼차방정식의 세 근은 ${-4, -2, 0}$이거나 ${-2, 0, 2}$입니다.

$a=-4$일 때 $g(x) = x(x+2)(x+4)$이며 $g(1) = 15 > 0$ 조건을 만족합니다.

(만약 $a=2$이면 $g(x) = x(x+2)(x-2)$로 $g(1) = -3 < 0$이 되어 배제됩니다.)

$g(2) = 2(2+2)(2+4) = 2 \times 4 \times 6 = 48$

따라서 구하는 값은 48입니다.

닫힌구간 $[2, 4]$에서 평균값 정리를 적용합니다.

$$\frac{f(4) – f(2)}{4 – 2} = f'(c) \quad (2 < c < 4)$$

모든 실수에 대하여 $f'(x) \le 6$이므로, $f'(c) \le 6$이 성립합니다.

$$\frac{f(4) – 5}{2} \le 6$$

양변에 2를 곱하고 식을 정리합니다.

$$f(4) – 5 \le 12 \implies f(4) \le 17$$

따라서 $f(4)$의 최댓값은 17입니다.

곱의 미분법을 사용하여 $g(x)$의 도함수를 구합니다.

$g'(x) = (2x+3)’f(x) + (2x+3)f'(x) = 2f(x) + (2x+3)f'(x)$

$x=1$을 대입하여 미분계수를 계산합니다.

$g'(1) = 2f(1) + (2(1)+3)f'(1) = 2f(1) + 5f'(1)$

주어진 값 $f(1)=3, f'(1)=5$를 대입합니다.

$g'(1) = 2(3) + 5(5) = 6 + 25 = 31$

정답은 31입니다.

극값을 구하기 위해 도함수를 찾고 0이 되는 지점을 확인합니다.

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)$

최고차항이 양수이므로 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소를 갖습니다.

극댓값이 7이므로 $f(-1) = 7$입니다.

$f(-1) = -1 + 3 + a = a + 2 = 7 \implies a = 5$

극솟값은 $x=1$일 때의 함숫값이므로 $f(1) = 1 – 3 + 5 = 3$입니다. 상수 $a$와 극솟값의 합은 $5 + 3 = 8$입니다.

도함수를 구해 극값을 확인합니다.

$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$

$x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소를 갖습니다. 구간의 양 끝점과 극값을 비교합니다.

$f(-1) = -1 – 6 – 9 + a = a – 16$

$f(1) = 1 – 6 + 9 + a = a + 4$

$f(3) = 27 – 54 + 27 + a = a$

최솟값은 $a-16$이며 이 값이 10이므로 $a – 16 = 10 \implies a = 26$입니다.

따라서 $a$는 26입니다.

$g(x)$가 경계점 $x=a$와 $x=b$에서 미분가능하려면 연속이고 미분계수가 일치해야 합니다. $f'(x) = 3x^2+6x-9 = 3(x+3)(x-1)$입니다.

• $x=a$에서의 미분계수 일치 조건: $f'(a) = -f'(a) \implies f'(a) = 0$이므로 $a = -3$ 또는 $a = 1$입니다.
• $x=b$에서의 미분계수 일치 조건: $-f'(b) = f'(b) \implies f'(b) = 0$이므로 $b = -3$ 또는 $b = 1$입니다. $a < b$이므로 $a = -3, b = 1$로 확정됩니다.
• $x=-3$에서 연속 조건: $f(-3) = m – f(-3) \implies m = 2f(-3)$. $f(-3) = 27$이므로 $m = 2 \times 27 = 54$입니다.
• $x=1$에서 연속 조건: $m – f(1) = n + f(1) \implies n = m – 2f(1)$. $f(1) = -5$이므로 $n = 54 – 2(-5) = 64$입니다.

$$a + n – m – b = (-3) + 64 – 54 – 1 = 6$$

따라서 구하는 값은 6입니다.

$f(x)=x^3-x$의 도함수 $f'(x) = 3x^2-1$이 2가 되는 $x$를 구합니다.

$3x^2-1 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ 또는 $x = -1$. 접점 $A(-1, 0)$과 $B(1, 0)$에서의 접선의 방정식은 각각 $l: y=2x+2$, $m: y=2x-2$입니다.

접선 $l$과 곡선의 교점 C: $x^3-x = 2x+2 \implies x^3-3x-2=0$. $x=-1$이 중근이므로 $(x+1)^2(x-2)=0 \implies x=2$. $C(2, 6)$.

접선 $m$과 곡선의 교점 D: $x^3-x = 2x-2 \implies x^3-3x+2=0$. $x=1$이 중근이므로 $(x-1)^2(x+2)=0 \implies x=-2$. $D(-2, -6)$.

선분 AC와 DB는 평행하고 길이가 같은 평행사변형을 이룹니다.

평행사변형 넓이는 밑변 길이 $\times$ 높이(두 평행선 사이의 거리)입니다.

선분 AC의 길이 = $\sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}$.

두 평행선 $2x-y+2=0$과 $2x-y-2=0$ 사이 거리 = $\frac{\vert{}2 – (-2)\vert{}}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

넓이 = $3\sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 12$.

따라서 구하는 넓이는 12입니다.

중심이 $(t, r)$이고 반지름이 $r$인 원의 방정식 $(x-t)^2+(y-r)^2=r^2$에 A(0, 2)를 대입하여 $r(t)$를 구합니다.

$t^2 + (2-r)^2 = r^2 \implies t^2 + 4 – 4r = 0 \implies r(t) = \frac{t^2+4}{4}$.

원과 $y$축의 교점은 원의 방정식에 $x=0$을 대입하여 $(y-r)^2 = r^2-t^2$을 풀면 $y = r \pm \sqrt{r^2-t^2}$이 됩니다.

교점의 합이 중심 $y$좌표의 두 배인 $2r$이므로, P의 $y$좌표는 $2r-2$입니다.

밑변이 선분 AP인 삼각형의 넓이 $S(t)$는 밑변 $\vert{}2r-4\vert{}$와 높이 $t$를 곱해 구합니다.

$t>2$에서 $2r-2 > 2$이므로 길이 $AP = 2r-4$입니다.

$S(t) = \frac{1}{2} (2r-4) t = (r-2)t = \left(\frac{t^2-4}{4}\right)t = \frac{t^3-4t}{4}$. 극한식을 세웁니다.

$S(t) – t \times r(t) = \frac{t^3-4t}{4} – t\left(\frac{t^2+4}{4}\right) = \frac{-8t}{4} = -2t$.

$\lim_{t \to \infty} \frac{-2t}{t} = -2$

정답은 $-2$입니다.

반지름이 1인 반원에서 $\angle BOP = \theta$라 할 때 코사인 법칙에 의해 $\cos\theta = 1 – \frac{t^2}{2}$입니다.

점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$를 지나며 평행조건을 적용하면 Q의 좌표는 $(1+\cos\theta, \sin\theta)$로 도출됩니다.

$\overline{OQ} = \sqrt{(1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = \sqrt{2+2\cos\theta} = \sqrt{4-t^2}$. 극한식을 유리화하여 계산합니다.

$\lim_{t \to 0^+} \frac{t^2}{2 – \sqrt{4-t^2}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2(2+\sqrt{4-t^2})}{4 – (4-t^2)} = \lim_{t \to 0^+} (2+\sqrt{4-t^2}) = 2 + 2 = 4$

정답은 4입니다.

함수 미분을 통해 접선의 기울기를 구합니다. $y’ = 4x+4$이므로 $x=0$에서의 기울기는 4입니다.

접선 방정식은 $y – (-3) = 4(x-0) \implies y = 4x – 3$입니다.

이 접선이 점 $(1, a)$를 지나므로 대입하면 $a = 4(1) – 3 = 1$입니다.

따라서 $a$의 값은 1입니다.

첫 번째 극한 조건에서 무한대분의 무한대 꼴 극한값이 1이므로, 분자의 최고차항은 분모와 동일한 $2x^2$이어야 합니다.

$f(x) – 3x^2 = 2x^2 + ax + b \implies f(x) = 5x^2 + ax + b$.

두 번째 조건에서 분모가 0으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다.

$\lim_{x \to 0} f(x) = b = 0$. 따라서 $f(x) = 5x^2 + ax = x(5x + a)$입니다. 이를 극한식에 대입합니다.

$\lim_{x \to 0} \frac{x(5x+a)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 0} \frac{5x+a}{x-1} = -a = -5 \implies a=5$

함수는 $f(x) = 5x^2 + 5x$로 확정되며, $f(1) = 5(1)^2 + 5(1) = 10$입니다. 따라서 정답은 10입니다.

단면은 가로가 $2r$, 세로가 $h$인 직사각형이므로 $(2r)^2+h^2 = 15^2 \implies r^2 = \frac{225-h^2}{4}$입니다.

부피 식 $V(h) = \pi r^2 h = \frac{\pi}{4}(225h – h^3)$을 미분하여 최댓값을 찾습니다.

$V'(h) = \frac{\pi}{4}(225 – 3h^2) = 0 \implies h = 5\sqrt{3}$에서 극대이자 최대가 됩니다.

$V(5\sqrt{3}) = \frac{\pi}{4}(225(5\sqrt{3}) – (5\sqrt{3})^3) = \frac{\pi}{4}(1125\sqrt{3} – 375\sqrt{3}) = \frac{375}{2}\sqrt{3}\pi$

$p=2, q=375$이므로 $p+q = 377$입니다.

$x<0$과 $x \ge 0$ 각 구간별로 도함수를 구하여 그래프 형태를 분석합니다. $a > 0$일 때 함수가 최솟값을 가질 수 있습니다.

$x < 0$ 구간: $f_1′(x) = 3a(1-x^2) = 0$에서 $x = -1$일 때 극소이며 극솟값은 $-2a$입니다.

$x \ge 0$ 구간: $f_2′(x) = 3x^2 – a = 0$에서 $x = \sqrt{\frac{a}{3}}$일 때 극소이며 극솟값은 $-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$입니다.

$-2a = -54$를 가정하면 $a = 27$이 되며, 이 때 $x \ge 0$ 구간의 극솟값 또한 $-\frac{54}{3}\sqrt{9} = -54$가 되어 전체 최솟값 조건에 부합합니다.

따라서 구하는 상수 $a$의 값은 27입니다.