아름고등학교 수학 기출 | 2026년 미적분1 중간고사 | 출제 경향 분석

[문제]함수 $y = f(x)$의 그래프가 아래 그림과 같을 때,
$\lim_{x\to-1^-} f(x) + \lim_{x\to0^-} f(x) + f(1)$의 값은?

[문제]다음 중 극한값이 존재하는 것은?

• ① $\lim_{x\to0} \frac{x}{\vert{}x\vert{}}$
• ② $\lim_{x\to1} \frac{1}{\vert{}x-1\vert{}}$
• ③ $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3+2}{x^2+x+1}$
• ④ $\lim_{x\to1} \frac{1}{x-1}\left(1-\frac{8}{x+2}\right)$
• ⑤ $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{x^2+3x} + x)$

[문제]$x = 0$에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

• ㄱ. $f(x) = \vert{}x\vert{}$
• ㄴ. $f(x) = x\vert{}x\vert{}$
• ㄷ. $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$
• ㄹ. $f(x) = \begin{cases} -x+2 & (x \ge 0) \\ 3x^2-x+2 & (x < 0) \end{cases}$

[문제]$\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x\to\infty} (2f(x)-g(x)) = 3$ 일 때,
$\lim_{x\to\infty} \frac{3f(x)+g(x)}{3f(x)-g(x)}$ 의 값은?

[문제]다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-x^2}{3x^2+2x+5}$
$= 2$, $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x^2+x} = -1$ 을 만족시킬 때, $f(1)$의 값은?

[문제]두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 고른 것은?

• ㄱ. $\lim_{x\to a} (f(x)-g(x)) = 0$ 이면 $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x)$ 이다.
• ㄴ. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) < g(x)$ 이고, $\lim_{x\to a} f(x)$, $\lim_{x\to a} g(x)$가 각각 존재 할 때, $\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)$ 이다.
• ㄷ. $\lim_{x\to a} f(x)$, $\lim_{x\to a} g(x)$가 모두 존재하지 않으면 $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))$도 존재하지 않는다.
• ㄹ. $\lim_{x\to a} (f(x)-g(x))$, $\lim_{x\to a} (g(x))^2$이 존재하면 $\lim_{x\to a} f(x)$도 존재한다.

[문제]$2$가 아닌 양수 $a$에 대하여 함수
$$f(x) = \begin{cases} x^2 – 4 & (x \le a) \\ -x^2 + b & (x > a) \end{cases}$$
라 하자.

$$g(x) = \lim_{t\to a^-} \frac{\vert{}f(t)\vert{}}{f(t)} – \lim_{t\to a^+} \frac{\vert{}f(t)\vert{}}{f(t)}$$
에 대하여 두 함수 $f(x), g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

• (가) $f(x)$는 모든 실수에서 극한값이 존재한다.
• (나) 두 함수 $y=g(x)$와 $y=\vert{}x-2\vert{}-2$의 서로 다른 교점의 개수는 5이다.

$f\left(\frac{a^2}{2}-\sqrt{b}\right)$의 값은?

[문제]두 상수 $a, b$에 대하여 $\lim_{x\to2} \frac{\sqrt{2x+a}-\sqrt{x+7}}{x^2-4} = b$ 일 때,
$a, b$의 값을 각각 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[문제]최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수

$g(x) = \begin{cases} \frac{f(x+3)f(2x-3)}{(f(x))^2} & (f(x) \neq 0) \\ 4 & (f(x) = 0) \end{cases}$

라 하자. $\lim_{x\to3} g(x) = g(3)-2$ 일 때, $g(4)$의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[문제]함수 $y = f(x)$의 그래프가 다음 그림과 같다.
열린구간 $(-2,2)$에서 함수 $f(x)$가 불연속이 되는 $x$의 값의 개수는?

[문제]모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $f(-2) = -1, f(-1) = 2, f(0) = -3, f(1) = 2, f(2) = -2$일 때,
방정식 $f(x) = 0$은 열린구간 $(-2,2)$에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는가?

[문제]함수 $f(x) = \frac{x+2}{x^2+ax+a}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때,
모든 정수 $a$의 값의 합은?

[문제]함수 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax-15}{x-3} & (x \neq 3) \\ b & (x = 3) \end{cases}$ 가
실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a+b$의 값은?

[문제]미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x\to2} \frac{f(x^3)-2}{x-2} = 6$ 일 때,
$\lim_{x\to8} \frac{x^2f(8)-64f(x)}{x-8}$ 의 값은?

[문제]함수 $f(x) = \begin{cases} -2x+1 & (x \le 1) \\ x & (1 < x \le 3) \\ 2x-3 & (x > 3) \end{cases}$

과 다항함수 $g(x)$에 대하여 다음 조건을 만족할 때, $g(2) + g'(3)$의 값은?

• (가) $\lim_{x\to\infty} \frac{x(f(x))^2}{g(x)} = 2$
• (나) 함수 $f(x)g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하다.

[문제]함수 $f(x) = x^2 – 4x + 3$에서
$x$의 값이 $-1$에서 $4$까지 변할 때 $f(x)$의 평균변화율을 $a$,
$x = 3$에서 $f(x)$의 순간변화율을 $b$라 할 때,
$a+b$의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[문제]닫힌구간 $[2,5]$에서 함수 $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ 의 최댓값을 $M$,
최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값은?

[문제]곡선 $y = x^3 – 2x^2 + 3x – 1$ 위의 점 $(2,5)$에서의 접선의 기울기는?

[문제]함수 $f(x) = x^2 + 5x + 4$에 대하여 닫힌구간 $[-2,k]$에서
평균값 정리를 만족하는 실수 $c$가 $1$일 때, 상수 $k$의 값은?

[문제]두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$가

• (가) $g(x) = 2x^2f(x) + 4x$
  (나) $\lim_{x\to-1} \frac{f(x)-g(x)}{x+1} = 3$

을 만족한다. 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(-1,g(-1))$에서의 접선의 방정식이 $y = ax + b$ 일 때,
$a-b$의 값은?

[문제]최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수

$$g(x) = \begin{cases} 2^x – 1 & (x < 1) \\ f(x) & (x \ge 1) \end{cases}$$

이라 할 때, 함수 $g(x)$는 $x = 1$에서 연속이다.

실수 $t$에 대하여 함수 $y = \vert{}g(x)\vert{}$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $h(t)$라 할 때,
함수 $h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $h(t)$는 $t=0, t=\alpha, t=\beta (0 < \alpha < \beta)$에서만 불연속이며
$h(0) = \beta, h(\beta) = \alpha + 1$이다.

$f(9)$의 값은?