실제 두루중학교 수학 기출 3학년 학생의 100점 시험지

두루중학교 수학 기출 | 2026년 3학년 2학기 중간고사 | 유형별 통계 분석

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두루중학교 수학 기출 2026년 3학년 2학기 중간고사 분석

두루중학교 수학 기출 분석 리포트입니다. 이번 2026년 2학기 중간고사에서도 3학년 100점 만점의 결실을 맺었습니다. 다년간 쌓아온 노하우를 바탕으로 두루중 3학년 수학 시험의 출제 유형별 통계와 핵심 문항 풀이를 공개합니다.

안녕하세요. 세종시 고운동 차오름입시학원에서 학생들과 치열하게 호흡하며 수학을 가르치고 수기분을 운영하고 있는 강사 ‘수쌤‘입니다. 얼마 전 명문 중학교 두루중학교에서 시험이 있었죠. 기뻐하는 학생도 슬퍼하는 학생도 있을 거라고 생각합니다. 항상 좋은 결과가 있을 수 없지만, 노력하는 자는 높은 성적으로 수렴할 거라고 믿어 의심치 않습니다.

  • 교육 장소: 세종특별자치시 고운동 차오름입시학원 (044-867-2159)
  • 분석 대상: 2026년 두루중학교 3학년 2학기 중간고사 수학 기출
  • 지도 성과: 2·3학년 100점 만점 (2학년 전원 100점)

실제 두루중학교 수학 기출 3학년 학생의 100점 시험지

오시는 길 (두루중학교 인근)

두루중학교에서 차오름입시학원이 멀지 않습니다. 자세한 경로는 수기분 소개 (about) 페이지를 참고해 주시길 바랍니다.

두루중학교 수학 기출 유형별 통계 분석 (최근 반영)

다년간 수많은 분석의 결과, 두루중학교 수학 기출은 출제 패턴을 가지고 있습니다. 이번 중간고사 역시 그 통계적 범주를 크게 벗어나지 않았습니다.

최근 두루중학교 수학 시험의 문항 수는 26문제가 고정으로 출제되고 있습니다. 문항 수가 많은 만큼 얼마나 빠르고 정확한 지가 관건입니다. 구조적으로 접근이 어려운 문제보다 접근은 쉽지만 계산이 오래 걸리는 분수나 미지수 형태의 문제가 자주 나옵니다.

문제의 유형별 통계 분석 결과는 다음과 같습니다.

두루중학교 수학 기출 유형 문항 수 비율(%)
이차함수의 성질 16 61.5%
이차함수의 활용 3 11.5%
삼각비의 성질 4 15.5%
삼각비의 활용 3 11.5%

이차함수와 삼각비의 성질에 대해서만 정확하게 알고 있어도 기본 점수로 높은 점수를 맞을 수 있습니다.

이를 예측하고 실제로 시험 전에 아이들과 함께 했던 내신 대비 시험지와 이번 시험지 사진입니다. 26문제 모두 적중했으며 그중의 대표 사진 2문제입니다.

두루중학교 수학 기출 적중 문제 1번

두루중학교 수학 기출 적중 문제 8번

문제들을 보고 있으면, 두루중학교는 학생들을 아끼고 배려하는 학교라는 생각이 듭니다. 시험이 어렵다고 꼭 좋은 학교라고 생각하지 않습니다. 수많은 복잡하고 처음 보는 문제들로 힘들어하게 하기보다는, 기초와 유형을 튼튼하게 쌓아 고등학교에서의 배움에 부족하지 않고, 보다 빠르게 익힐 수 있도록 도와주며 강조하는 배려 깊은 시험지라고 생각합니다.

각 유형별로 더 자세히 알아보도록 하겠습니다.

이차함수의 성질

1번 문제 [3점]

[문제]이차함수 $f(x)=2x^{2}-ax-5$에서 $f(-1)=-6$, $f(2)=b$라고 할 때,
$a+b$의 값은? (단, $a, b$는 상수)
정답 및 해설 보기 (클릭)
  • Step 1: 조건 $f(-1)=-6$을 이용하여 $a$ 구하기
    함수식에 $x=-1$을 대입하면 $2(-1)^2 – a(-1) – 5 = -6$이 되므로,
    $2 + a – 5 = -6 \implies a – 3 = -6 \implies a = -3$입니다.
  • Step 2: 완성된 함수식에 $x=2$를 대입하여 $b$ 구하기
    완성된 식은 $f(x) = 2x^2 + 3x – 5$입니다. 여기에 $x=2$를 대입하면
    $f(2) = 2(2)^2 + 3(2) – 5 = 8 + 6 – 5 = 9$이므로 $b = 9$입니다.
  • Step 3: 최종 값 계산하기
    $a + b = -3 + 9 = 6$입니다.

2번 문제 [3점]

[문제]다음 중 옳지 않은 것은?

  • ① 이차함수 $y=ax^{2}$의 그래프의 축은 $y$축이다.
  • ② 이차함수 $y=ax^{2}$의 그래프는 원점을 지나는 포물선이다.
  • ③ 이차함수 $y=ax^{2}$의 그래프는 $|a|$의 값이 작을수록 그래프의 폭이 좁아진다.
  • ④ 이차함수 $y=ax^{2} (a<0)$의 그래프는 $x>0$일 때 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소한다.
  • ⑤ 이차함수 $y=ax^{2}$의 그래프와 이차함수 $y=-ax^{2}$의 그래프는 서로 $x$축에 대하여 대칭이다.
정답 및 해설 보기 (클릭)
  • Step 1: 각 보기별 이차함수 그래프의 성질 검토하기
    ①, ②, ④, ⑤번은 모두 이차함수의 기본적인 성질을 올바르게 설명하고 있습니다.
  • Step 2: ③번 보기 분석하기
    이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $|a|$의 값이 클수록 폭이 좁아지고, 작을수록 폭이 넓어집니다.
    따라서 ③번의 ‘$|a|$의 값이 작을수록 폭이 좁아진다’는 설명은 틀렸습니다.

3번 문제 [3점]

[문제]이차함수 $y=-3x^{2}+5$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 그래프가 점 $(-\frac{2}{3}, 2)$를 지날 때,
상수 $k$의 값은?
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  • Step 1: 평행이동한 이차함수 식 세우기
    $y=-3x^{2}+5$를 x축 방향으로 $k$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $(x-k)$를 대입하여 $y = -3(x-k)^2 + 5$가 됩니다.
  • Step 2: 주어진 점 대입하여 방정식 풀기
    그래프가 점 $(-\frac{2}{3}, 2)$를 지나므로 대입하면 $2 = -3(-\frac{2}{3}-k)^2 + 5$입니다.
    양변을 정리하면 $-3(-\frac{2}{3}-k)^2 = -3 \implies (-\frac{2}{3}-k)^2 = 1$이 됩니다.
  • Step 3: 상수 $k$의 값 구하기
    $-\frac{2}{3}-k = 1$ 또는 $-\frac{2}{3}-k = -1$이므로 계산하면 $k = -\frac{5}{3}$ 또는 $k = \frac{1}{3}$입니다.

4번 문제 [3점]

[문제]이차함수 $y=2(x-3)^{2}+4$의 꼭짓점의 좌표를 $(p, q)$, 축의 방정식을 $x=k$라고 할 때,
$p+q+k$의 값은? (단, $p, q, k$는 상수)
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  • Step 1: 표준형을 통해 꼭짓점 좌표 찾기
    이차함수의 표준형 $y=a(x-p)^2+q$에서 꼭짓점은 $(p, q)$입니다.
    주어진 식 $y=2(x-3)^{2}+4$에서 꼭짓점은 $(3, 4)$이므로 $p=3, q=4$입니다.
  • Step 2: 축의 방정식 구하기
    축의 방정식은 $x = p$이므로 $x = 3$이고, 문제에서 $x=k$라 하였으므로 $k=3$입니다.
  • Step 3: 최종 합 구하기
    $p + q + k = 3 + 4 + 3 = 10$입니다.

5번 문제 [3점]

[문제]꼭짓점의 좌표가 $(0, -5)$인 이차함수의 그래프가 두 점 $(-2, 1)$, $(4, m)$을 지날 때,
상수 $m$의 값은?
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  • Step 1: 꼭짓점을 이용한 기본 식 세우기
    꼭짓점이 $(0, -5)$이므로 기본 식은 $y = ax^2 – 5$ 형태가 됩니다.
  • Step 2: 첫 번째 점을 대입하여 $a$ 구하기
    점 $(-2, 1)$을 대입하면 $1 = a(-2)^2 – 5 \implies 4a = 6 \implies a = \frac{3}{2}$입니다.
    따라서 함수식은 $y = \frac{3}{2}x^2 – 5$입니다.
  • Step 3: 두 번째 점을 대입하여 $m$ 구하기
    점 $(4, m)$을 대입하면 $m = \frac{3}{2}(4)^2 – 5 = \frac{3}{2}(16) – 5 = 24 – 5 = 19$입니다.

6번 문제 [3점]

[문제]일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 위를 향하고, $y$절편이 음수일 때,
이차함수 $y=ax^{2}+b$의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

  • ① 아래로 볼록하고, 꼭짓점이 원점에 있는 포물선이다.
  • ② 위로 볼록하고, 꼭짓점이 $x$축의 양의 부분에 있는 포물선이다.
  • ③ 아래로 볼록하고, 꼭짓점이 $y$축의 음의 부분에 있는 포물선이다.
  • ④ 아래로 볼록하고, 꼭짓점이 $y$축의 양의 부분에 있는 포물선이다.
  • ⑤ 위로 볼록하고, 꼭짓점이 $y$축의 음의 부분에 있는 포물선이다.
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  • Step 1: 일차함수 조건으로 부호 파악하기
    $y=ax+b$가 오른쪽 위를 향하므로 기울기 $a > 0$이고, $y$절편이 음수이므로 $b < 0$입니다.
  • Step 2: 이차함수 $y=ax^2+b$의 모양 판단하기
    $a > 0$이므로 그래프는 아래로 볼록합니다.
  • Step 3: 꼭짓점 위치 파악하기
    꼭짓점의 좌표는 $(0, b)$인데 $b < 0$이므로 꼭짓점은 $y$축의 음의 부분에 위치합니다.
    따라서 정답은 ③번입니다.

7번 문제 [3점]

[문제]이차함수 $y=a(x+p)^{2}+q$의 그래프가 위로 볼록하고 꼭짓점이 제$3$사분면에 있을 때,
$a, p, q$의 조건으로 옳은 것은? (단, $a, p, q$는 상수)
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  • Step 1: 최고차항 계수 $a$의 부호 결정하기
    그래프가 위로 볼록하므로 $a < 0$입니다.
  • Step 2: 꼭짓점 좌표 분석하기
    꼭짓점의 좌표는 $(-p, q)$입니다. 이 점이 제3사분면에 있으므로 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 음수여야 합니다.
    즉, $-p < 0 \implies p > 0$이고, $q < 0$입니다.
  • Step 3: 최종 조건 확인하기
    $a < 0, p > 0, q < 0$입니다.

8번 문제 [4점]

[문제]그림과 같이 이차함수 $y=ax^{2}$과 $y=dx^{2}$, $y=bx^{2}$과 $y=cx^{2}$의 그래프는 각각 $x$축에 서로 대칭이다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, b, c, d$는 상수)

원점을 지나는 이차함수 기본형 4개 그래프

  • ㄱ. $a+b+c+d=0$
  • ㄴ. $\vert{}b\vert{}>\vert{}d\vert{}$
  • ㄷ. $a+b+cd>0$
  • ㄹ. $a, b, c, d$ 중 가장 큰 값은 $b$이다.
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  • Step 1: $x$축 대칭 관계 파악하기
    $y=ax^2$과 $y=dx^2$, 그리고 $y=bx^2$과 $y=cx^2$이 각각 $x$축에 대칭이므로
    $a = -d$ (즉, $a+d=0$), $b = -c$ (즉, $b+c=0$)의 관계가 성립합니다.
  • Step 2: 보기 ㄱ 검토하기
    $a+d=0$이고 $b+c=0$이므로 두 식을 변끼리 더하면 $a+b+c+d = 0$이 되어 ㄱ은 항상 참입니다.
  • Step 3: 정답 도출하기
    그래프의 개형과 폭에 따른 부호 및 절댓값 관계를 분석하면,
    대칭 관계에 의해 $c = -b$이므로 $cd = c(-a) = -ac$ 형태 등의 부호 성질을 활용할 수 있습니다.
    그래프의 위/아래 볼록성과 폭의 조건을 만족할 때 부등식 $a+b+cd>0$이 성립하므로 ㄷ도 참입니다.
    따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.

9번 문제 [4점]

[문제]꼭짓점의 좌표가 $(-2, 6)$이고, 점 $(-3, 2)$를 지나는 이차함수의 그래프가 $y$축과 만나는 점의 좌표는?
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  • Step 1: 꼭짓점을 이용해 표준형 식 세우기
    꼭짓점이 $(-2, 6)$이므로 $y = a(x+2)^2 + 6$으로 식을 세웁니다.
  • Step 2: 지나는 점을 대입하여 $a$ 구하기
    점 $(-3, 2)$를 대입하면 $2 = a(-3+2)^2 + 6 \implies 2 = a(1) + 6 \implies a = -4$입니다.
    식은 $y = -4(x+2)^2 + 6$입니다.
  • Step 3: $y$절편($y$축과 만나는 점) 구하기
    $y$축과 만나는 점은 $x=0$일 때의 값이므로 대입하면 $y = -4(0+2)^2 + 6 = -4(4) + 6 = -10$입니다.
    따라서 좌표는 $(0, -10)$입니다.

10번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $y=-5(x+3)^{2}-2$의 그래프에서 $x$의 값이 증가할 때, $y$의 값은 감소하는 모든 $x$의 값의 범위로 옳은 것은?
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  • Step 1: 그래프의 모양과 축 확인하기
    최고차항 계수가 $-5$로 음수이므로 그래프는 위로 볼록한 포물선입니다.
    꼭짓점의 $x$좌표는 $-3$이므로 대칭축은 $x = -3$입니다.
  • Step 2: 증감 구간 파악하기
    위로 볼록한 이차함수에서 $x$가 증가할 때 $y$가 감소하는 구간은 대칭축을 기준으로 오른쪽 영역입니다.
  • Step 3: 범위 작성하기
    따라서 $x$의 값의 범위는 $x > -3$입니다.

11번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $y=x^{2}-4x+a$와 또 다른 이차함수 $y=-2(x-b)^{2}+3$의 그래프의 꼭짓점이 서로 일치할 때,
$a+b$의 값은? (단, $a, b$는 상수)
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  • Step 1: 첫 번째 이차함수를 표준형으로 변형하기
    $y = x^2 – 4x + a = (x-2)^2 – 4 + a$이므로 첫 번째 함수의 꼭짓점은 $(2, a-4)$입니다.
  • Step 2: 두 번째 이차함수의 꼭짓점 확인하기
    $y = -2(x-b)^2 + 3$의 꼭짓점은 $(b, 3)$입니다.
  • Step 3: 꼭짓점이 일치하는 조건 이용하기
    두 꼭짓점의 $x$좌표, $y$좌표가 각각 같아야 하므로 $b = 2$이고,
    $a – 4 = 3 \implies a = 7$입니다. 따라서 $a + b = 7 + 2 = 9$입니다.

12번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x-5$의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

이차함수를 x축 방향으로 8만큼 이동한 전과 후의 그래프

  • ① 축의 방정식은 $x=3$이다.
  • ② 모든 $x$의 값에 대하여 $y \le -\frac{1}{2}$이다.
  • ③ 제$3$사분면과 제$4$사분면을 지난다.
  • ④ $x>3$일 때, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
  • ⑤ 이차함수 $y=-\frac{1}{2}x^{2}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프이다.
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  • Step 1: 표준형으로 변형하기
    $y = -\frac{1}{2}(x^2 – 6x) – 5 = -\frac{1}{2}(x-3)^2 + \frac{9}{2} – 5 = -\frac{1}{2}(x-3)^2 – \frac{1}{2}$입니다.
  • Step 2: 꼭짓점과 대칭축 파악하기
    꼭짓점은 $(3, -\frac{1}{2})$이고 위로 볼록하므로 축의 방정식은 $x=3$, 최댓값은 $-\frac{1}{2}$입니다.
  • Step 3: 보기 분석하기
    축이 $x=3$이고 위로 볼록하므로 $x > 3$일 때는 $x$가 증가할 때 $y$는 감소합니다.
    따라서 ④번 설명(“증가한다”)이 틀렸습니다.

13번 문제 [4점]

[문제]두 이차함수 $y=\frac{1}{2}(x+5)^{2}$과 $y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}$에 대하여 각각의 그래프 위에 서로 다른 두 점 $A, B$가 있다.
두 점 $A, B$의 위치가 아래의 그림과 같고, 선분 $AB$가 $x$축에 평행할 때, 선분 $AB$의 길이는?
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  • Step 1: 두 함수의 폭과 대칭축 비교하기
    두 이차함수는 $x^2$ 앞의 계수가 $\frac{1}{2}$로 같으므로 폭과 모양이 정확히 일치합니다.
    대칭축은 각각 $x = -5$와 $x = 3$입니다.
  • Step 2: 평행선과 대칭성 이용하기
    선분 $AB$가 $x$축에 평행하므로 두 점 $A$와 $B$의 $y$값이 같습니다.
    양쪽 그래프의 대칭성에 의해 두 대칭축 사이의 거리와 선분 $AB$의 길이는 정확히 일치합니다.
  • Step 3: 길이 계산하기
    선분 $AB$의 길이는 $3 – (-5) = 8$입니다.

14번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $f(x)=ax^{2}+bx+c$에 대하여 $f(-2)=f(6)$이고, $f(1)=0$이 성립할 때
이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 해의 합은? (단, $a, b, c$는 상수, $a \ne 0$)
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  • Step 1: 함숫값이 같을 때 대칭축 구하기
    $f(-2) = f(6)$이라는 것은 두 $x$값에서의 $y$값이 같다는 뜻이므로,
    대칭축은 두 값의 정중앙에 위치합니다. 즉, 축은 $x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$입니다.
  • Step 2: 이차방정식의 해와 대칭성의 관계 이해하기
    이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 해는 이차함수 그래프가 $x$축과 만나는 $x$좌표($x$절편)이며,
    대칭축 $x=2$에 대하여 좌우 대칭입니다.
  • Step 3: 두 해의 합 계산하기
    두 해를 $\alpha, \beta$라 할 때 대칭축 공식에 의해 $\frac{\alpha + \beta}{2} = 2$이므로,
    두 해의 합은 $\alpha + \beta = 4$입니다. (정답: 4)

15번 문제 [4점]

[문제]다음 조건을 모두 만족시키는 이차함수의 식이 $y=ax^{2}+bx+c$일 때,
$a-b+c$의 값을 구하면? (단, $a, b, c$는 상수)

  • (가) 점 $(2, 1)$을 지난다.
  • (나) 이차함수 $y=-3x^{2}$의 그래프와 폭이 같다.
  • (다) $x<-1$일 때 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값도 증가하고, $x>-1$이면 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값은 감소한다.
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  • Step 1: 최고차항 계수와 대칭축 구하기
    조건 (나)와 위로 볼록한 성질에 의해 $a = -3$입니다.
    조건 (다)에서 증감이 바뀌는 지점이 대칭축이므로 대칭축은 $x = -1$입니다.
  • Step 2: 표준형에 대입하여 미지수 구하기
    식을 $y = -3(x+1)^2 + q$로 두고, 점 $(2, 1)$을 대입하면
    $1 = -3(2+1)^2 + q \implies 1 = -3(9) + q \implies q = 28$입니다.
  • Step 3: 구하고자 하는 값 형태 확인하기
    $a-b+c$는 이차함수 식에 $x=-1$을 대입한 값($f(-1)$)과 같으므로
    꼭짓점의 $y$좌표인 $28$이 됩니다.

16번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $y=(x-p)^{2}-9$의 그래프가 점 $(-2, 0)$을 지날 때, 이 그래프의 축의 방정식은? (단, $p>0$)
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  • Step 1: 지나는 점 대입하기
    함수식 $y=(x-p)^{2}-9$에 점 $(-2, 0)$을 대입하면 $0 = (-2-p)^2 – 9$가 됩니다.
  • Step 2: 방정식 풀기
    $(-2-p)^2 = 9$이므로 $-2-p = 3$ 또는 $-2-p = -3$입니다. 이를 풀면 $p = -5$ 또는 $p = 1$입니다.
  • Step 3: 조건에 맞는 $p$ 선택 및 축 구하기
    조건에서 $p > 0$이라 하였으므로 $p = 1$입니다.
    대칭축은 $x = p$이므로 축의 방정식은 $x = 1$입니다.

이차함수의 활용

17번 문제 [4점]

[문제]이차함수 $y=-x^{2}+4x$의 그래프의 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 교점 중 원점이 아닌 점을 $B$라 할 때,
$\triangle OAB$의 넓이는? (단, $O$는 원점)
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  • Step 1: 원점이 아닌 $x$축과의 교점 $B$ 구하기
    함수식을 인수분해하면 $y = -x^2 + 4x = -x(x-4)$입니다.
    $y=0$일 때 $x=0$ 또는 $x=4$이므로, 원점이 아닌 $x$축과의 교점인 점 $B$의 좌표는 $(4, 0)$입니다.
  • Step 2: 꼭짓점 $A$ 구하기
    표준형으로 변형하면 $y = -(x-2)^2 + 4$이므로 꼭짓점 $A$의 좌표는 $(2, 4)$입니다.
  • Step 3: 삼각형 $OAB$의 넓이 계산하기
    선분 $OB$를 밑변으로 잡으면 길이는 $4$이고, 꼭짓점 $A$의 $y$좌표인 $4$가 높이가 됩니다.
    따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$입니다. (정답: 8)

18번 문제 [5점]

[문제]그림과 같이 직선 $l$과 이차함수 $y=x^{2}$의 그래프의 교점을 $A$라고 하고,
직선 $l$과 이차함수 $y=ax^{2}$의 그래프의 교점을 $B$라 하자.
$\overline{OA} : \overline{OB} = 2 : 3$일 때, 상수 $a$의 값은?

폭이 다른 2개의 이차함수 기본형 그래프와 원점을 지나는 일차함수 그래프

정답 및 해설 보기 (클릭)
  • Step 1: 원점을 지나는 직선의 방정식 세우기
    원점을 지나는 직선 $l$을 $y = mx$ ($m \neq 0$)라 설정합니다.
  • Step 2: 교점 $A$와 $B$의 $x$좌표 구하기
    $y = x^2$과 $y = mx$의 교점 $A$의 $x$좌표는
    $x^2 = mx \implies x(x-m) = 0$에서 $x = m$입니다. (원점이 아닌 교점)
    $y = ax^2$과 $y = mx$의 교점 $B$의 $x$좌표는
    $ax^2 = mx \implies x(ax-m) = 0$에서 $x = \frac{m}{a}$입니다.
  • Step 3: 비례식을 이용하여 상수 $a$ 구하기
    원점 $O$로부터의 거리는 $x$좌표에 비례하므로
    $\overline{OA} : \overline{OB} = m : \frac{m}{a} = 1 : \frac{1}{a} = a : 1$입니다.
    이 비율이 $2 : 3$이므로 $a : 1 = 2 : 3 \implies a = \frac{2}{3}$입니다.

19번 문제 [5점]

[문제]그림은 이차함수 $y=\frac{1}{2}x^{2}+x-4$의 그래프이다.
그래프가 $x$축의 음의 방향에서 만나는 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$, $y$축과의 교점을 $C$라고 할 때,
사각형 $ABCO$의 넓이는? (단, $O$는 원점)

이차함수의 꼭짓점과 x축, y축으로 둘러쌓인 사각형 ABCO

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  • Step 1: 점 $A$($x$축 교점)와 점 $C$($y$절편) 구하기
    $y = \frac{1}{2}x^2 + x – 4$에 $y=0$을 대입하면
    $\frac{1}{2}(x^2 + 2x – 8) = 0 \implies \frac{1}{2}(x+4)(x-2) = 0$입니다.
    $x$축의 음의 방향에서 만나는 점이므로 점 $A$의 좌표는 $(-4, 0)$입니다.
    $y$축과의 교점 $C$는 $x=0$일 때의 값이므로 $(0, -4)$입니다.
  • Step 2: 꼭짓점 $B$ 구하기
    표준형으로 변형하면 $y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 – 1) – 4$
    $= \frac{1}{2}(x+1)^2 – \frac{9}{2}$이므로 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(-1, -4.5)$입니다.
  • Step 3: 사각형 $ABCO$의 넓이를 두 삼각형으로 나누어 계산하기
    사각형 $ABCO$를 $\triangle ABO$와 $\triangle BCO$로 쪼개어 구합니다.
    $\triangle ABO$: 밑변 $\overline{OA} = 4$, 높이는 점 $B$의 $y$좌표의 절댓값인 $4.5$이므로
    넓이는 $\frac{1}{2} \times 4 \times 4.5 = 9$입니다.
    $\triangle BCO$: 밑변 $\overline{OC} = 4$, 높이는 점 $B$의 $x$좌표의 절댓값인 $1$이므로
    넓이는 $\frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$입니다.
    따라서 사각형의 총 넓이는 $9 + 2 = 11$입니다.

삼각비의 성질

20번 문제 [3점]

[문제]$A = \sin 60^{\circ} \times \tan 45^{\circ}$, $B = (\cos 30^{\circ}-1)(\sin 60^{\circ}+1)$에 대하여 $\sqrt{3}A-B$의 값은?
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  • Step 1: 특수각을 이용하여 값 $A$ 구하기
    $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$이므로
    $A = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$입니다.
  • Step 2: 합차 공식을 이용하여 값 $B$ 구하기
    $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로
    $B = (\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)$입니다.
    합차 공식을 적용하면 $B = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 – 1^2 = \frac{3}{4} – 1 = -\frac{1}{4}$입니다.
  • Step 3: $\sqrt{3}A – B$ 계산하기
    $\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} – (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{4}$
    $= \frac{6}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$입니다.

21번 문제 [4점]

[문제]다음 <보기>의 내용 중 옳은 것의 개수는?

  • ㄱ. $0^{\circ} < \angle A < 45^{\circ}$일 때, $\sin A > \cos A$
  • ㄴ. $\angle A = 45^{\circ}$일 때, $\sin A = \cos A$
  • ㄷ. $45^{\circ} < \angle A < 90^{\circ}$일 때, $\tan A > \sin A > \cos A$
  • ㄹ. $0^{\circ} \le \angle A \le 90^{\circ}$일 때, $0 \le \cos A \le 1$
  • ㅁ. $0^{\circ} \le \angle A < 90^{\circ}$일 때, $\tan A \le 1$
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  • Step 1: 보기 ㄴ, ㄷ, ㄹ 검토하기
    ㄴ. $A=45^{\circ}$일 때 $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$로 참입니다.
    ㄷ. $45^{\circ} < A < 90^{\circ}$ 범위에서는 $\tan A > 1 > \sin A > \cos A$가 성립하므로
    $\tan A > \sin A > \cos A$는 참입니다.
    ㄹ. 코사인 값은 $0^{\circ}$일 때 1, $90^{\circ}$일 때 0이므로 전 구간에서 $0 \le \cos A \le 1$로 참입니다.
  • Step 2: 보기 ㄱ, ㅁ 검토하기
    ㄱ. $0^{\circ} < A < 45^{\circ}$일 때는 $\cos A > \sin A$이므로 거짓입니다.
    ㅁ. $A > 45^{\circ}$일 때 $\tan A > 1$이 되므로 거짓입니다.
  • Step 3: 최종 옳은 것의 개수 세기
    옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ 총 3개입니다.

22번 문제 [4점]

[문제]$0^{\circ} < A < 90^{\circ}$이고 이차방정식 $5x^{2}-4x-1=0$의 한 근이 $\tan A$라고 할 때,
$\sqrt{(\sin A – \cos A)^{2}} – \sqrt{(\sin A + \cos A)^{2}}$을 간단히 하면?
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  • Step 1: 이차방정식을 풀고 $\tan A$ 구하기
    $5x^2 – 4x – 1 = 0$을 인수분해하면 $(5x+1)(x-1) = 0$이므로 $x = -\frac{1}{5}$ 또는 $x = 1$입니다.
    조건에서 $0^{\circ} < A < 90^{\circ}$일 때 $\tan A > 0$이므로 $\tan A = 1$입니다. 따라서 $A = 45^{\circ}$입니다.
  • Step 2: $A = 45^{\circ}$일 때의 삼각비 값 확인하기
    $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $\sin A = \cos A$입니다.
  • Step 3: 제곱근 식 간단히 하기
    $\sqrt{(\sin A – \cos A)^2} = \vert{}\sin A – \cos A\vert{}$
    $= 0$ ($\because \sin A = \cos A$)
    $\sqrt{(\sin A + \cos A)^2} = \vert{}\sin A + \cos A\vert{}$
    $= \sin A + \cos A$ ($\because \sin A + \cos A > 0$)
    따라서 $0 – (\sin A + \cos A) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}$입니다.

23번 문제 [4점]

[문제]그림과 같이 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 사분원이 있다.
$\overline{OD} \perp \overline{BD}$, $\overline{OC} \perp \overline{EC}$이고 방정식을 만족하는 $\overline{DC} = 0.2453$일 때,
$\angle A$의 크기는?

반지름이 1인 사분원 그래프

각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan)
$39^{\circ}$ 0.6293 0.7771 0.8098
$40^{\circ}$ 0.6428 0.7660 0.8391
$41^{\circ}$ 0.6561 0.7547 0.8693
$42^{\circ}$ 0.6691 0.7431 0.9004
$43^{\circ}$ 0.6820 0.7314 0.9325

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  • Step 1: 사분원에서의 삼각비 성질 파악하기
    반지름이 $1$인 사분원에서 삼각형의 삼각비 정의에 따라
    $\overline{OD} = \cos A$ 등의 선분 길이를 표현할 수 있습니다.
    문제 구조에 따라 $\overline{DC} = 1 – \cos A$ 관계가 성립합니다.
  • Step 2: $\cos A$의 값 구하기
    $\overline{DC} = 0.2453$이므로 $1 – \cos A = 0.2453$에서
    $\cos A = 1 – 0.2453 = 0.7547$입니다.
  • Step 3: 삼각비 표를 참고하여 각도 결정하기
    삼각비 표준 표에서 코사인 값이 $0.7547$이 되는 각도는
    $41^{\circ}$($\cos 41^{\circ} = 0.7547$)이므로
    $\angle A = 41^{\circ}$입니다.

삼각비의 활용

24번 문제 [4점]

[문제]그림과 같이 직선 $y=\frac{2}{3}x+1$이 $y$축과 이루는 예각의 크기를 $a$라고 할 때,
$\sin a^{\circ} + \cos a^{\circ}$의 값은?
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  • Step 1: 직선이 $x$축 및 $y$축과 이루는 각의 관계 파악하기
    직선의 기울기가 $\frac{2}{3}$이므로 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을
    $\theta$라 하면 $\tan \theta = \frac{2}{3}$입니다.
    직선이 $y$축과 이루는 예각 $a$는 $\theta$와 직각 삼각형의 예각 성질에 의해
    $\tan a = \frac{3}{2}$의 관계를 가집니다.
  • Step 2: 직각삼각형의 빗변 길이 구하기
    밑변이 $2$, 높이가 $3$인 직각삼각형을 생각할 때
    빗변의 길이는 $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$입니다.
  • Step 3: $\sin a^{\circ} + \cos a^{\circ}$ 계산하기
    $\sin a = \frac{3}{\sqrt{13}}$, $\cos a = \frac{2}{\sqrt{13}}$이므로
    두 값을 더하면 $\frac{3}{\sqrt{13}} + \frac{2}{\sqrt{13}}$
    $= \frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{13}$입니다.

25번 문제 [5점]

[문제]그림과 같이 반지름의 길이가 $12$인 사분원에서 $\cos a^{\circ}=\frac{3}{4}$일 때,
$\triangle CDE$의 넓이는? (단, 세 점 $A, C, E$는 한 직선 위에 있다.)

반지름이 12인 사분원

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  • Step 1: 작은 직각삼각형에서 선분 길이 구하기
    사분원의 반지름인 $AC = 12$이고 $\cos a = \frac{3}{4}$이므로,
    직각삼각형 $ACD$에서 밑변 $AD = 12 \times \frac{3}{4} = 9$이고 높이 $CD = 3\sqrt{7}$입니다.
  • Step 2: 큰 직각삼각형에서 선분 $DE$ 길이 구하기
    점 $D$에서의 접선과 연장선이 만나는 큰 직각삼각형에서 밑변이 $AD = 12$이고
    $\tan a = \frac{\sqrt{7}}{3}$이므로, $DE = 12 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 4\sqrt{7}$이 됩니다.
  • Step 3: $\triangle CDE$의 넓이 계산하기
    $\triangle CDE$는 밑변을 $DE = 4\sqrt{7}$로 잡을 때 높이는 $AC – AD = 12 – 9 = 3$이 됩니다.
    따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{7} \times 3 = 6\sqrt{7}$입니다. (정답: $6\sqrt{7}$)

26번 문제 [5점]

[문제]그림과 같이 한 변의 길이가 $5$인 정사각형 $ABCD$의 한 꼭짓점 $B$를 중심으로 하고
$\overline{AB}$를 반지름으로 하는 사분원 $ABC$가 있다.
이때, $\overline{AD}$와 $\overline{CD}$, 사분원의 호 $AC$에 접하는 원 $E$의 둘레는?
(단, $\overline{BD}$는 정사각형 $ABCD$의 대각선)

반지름이 5인 정사각형과 정확하게 접하는 사분원 및 작은 원

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  • Step 1: 원 $E$의 중심과 원점 사이의 거리 표현하기
    원 $E$의 반지름을 $r$이라 할 때, 원 E의 중심은 정사각형의 대각선 위에 있으므로
    좌표계를 이용해 중심을 $(5-r, 5-r)$로 둘 수 있습니다.
    원점 $B(0,0)$에서 원 $E$의 중심까지의 거리는 대각선 성질에 의해 $5\sqrt{2} – \sqrt{2}r$입니다.
  • Step 2: 접하는 조건식을 세워 반지름 $r$ 구하기
    원점 $B$에서 원 $E$의 중심까지의 거리는 사분원의 반지름 $5$와 원 $E$의 반지름 $r$을 합한 것과 같아야 하므로
    $5\sqrt{2} – \sqrt{2}r = 5 + r$이라는 방정식을 세웁니다.
    이를 정리하여 풀면 $r = 15 – 10\sqrt{2}$가 됩니다.
  • Step 3: 원 $E$의 둘레 구하기
    원의 둘레 공식 $2\pi r$에 대입하면 $2\pi(15 – 10\sqrt{2}) = (30 – 20\sqrt{2})\pi$입니다.

2026년 두루중학교 3학년 2학기 중간고사 수학 총평

이차함수의 활용에서는 단순 공식을 대입하는 것을 넘어 이차함수의 좌우대칭 성질과 대칭축, 꼭짓점 좌표 등을 전 개념들과 연결해 푸는 것이 중요합니다. 삼각비의 활용 단원에서는 사분원을 이용한 풀이가 중요합니다. 분모나 분자에 반지름의 길이 $1$이 들어가도록 삼각비 식을 세우다 보면 문제의 답이 보다 잘 보일 것입니다.

이번 시험 결과에 너무 일희일비하기보다는, 아쉬웠던 오답 유형을 철저히 분석하고 다가올 기말고사를 준비하는 것이 무엇보다 중요합니다. 우리 아이들의 수학 실력이 한 단계 더 도약할 수 있도록, 차오름입시학원 ‘수기분의 수쌤’이 항상 응원하겠습니다.

“두루중학교 수학 기출 | 2026년 3학년 2학기 중간고사 | 유형별 통계 분석”에 대한 2개의 생각

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